Σύμφωνα με τα στοιχεία της οικογένειας, ο Κώστας γεννήθηκε στις 5 Σεπτεμβρίου 1882 στο Μαρτίνο. Πατέρας του ήταν ο Ιωάννης Παπαγκίκας, κτηματίας, μητέρα του η Αικατερίνη Δημάκη και ήταν το πέμπτο από τα έξι παιδιά της οικογένειας: Νικόλαος (1873), Φράγκω (1875), Παναγιώτης (1879), Μαρία (1880), Κώστας (1882), Λεωνίδας (1889). Ο παππούς του, Νικόλαος Γκίκας, ήταν παπάς, και έτσι προέκυψε το επώνυμο «Παπαγκίκας». Στην οικογένεια δεν γνωρίζουμε αν υπήρξαν και άλλοι μουσικοί — ξέρουμε, όμως, ότι υπήρχαν πολλοί ψαλτάδες.
Δεν έχει εντοπιστεί κανένα στοιχείο για τη ζωή του Κώστα μέχρι τη συνάντησή του με τη Μαρίκα. Το βέβαιον είναι ότι, εκτός από τη ζωή του, και η μουσική του πορεία είναι συνυφασμένη με τη Μαρίκα. Συμμετείχε σε τουλάχιστον 127 ηχογραφήσεις της γυναίκας του παίζοντας τσίμπαλο ή σαντούρι. Επίσης, εμφανίζεται και σε ακόμη 22 ορχηστρικά κομμάτια, μαζί με τους Μάρκο Σιφνιό (τσέλο), Νίκο Ρέλια (κλαρίνο), Αθανάσιο Μακεδόνα (βιολί) κ.ά.